דעת יפה

(2,330 מילים. 12 דקות קריאה. )

 

למי אכפת?

לפני שנצלול לעולם המופלא של מודל תיאורטי מופשט לעילא, חשוב להתעכב רגע על השאלה – למי אכפת? איך בכלל המאמר המפורסם של אריאל רובינשטיין על אימיילים שכן או לא מגיעים ליעדם משתלב במחקר הכלכלי? איך זה בכלל "כלכלה"? ומעשה שהיה כך היה.

פעם מזמן, לתיאוריה הכלכלית היו כלים לא רעים לחשוב על שווקים תחרותיים מאד, שבהם יש המווווון יצרנים והמווווון צרכנים. והיו לה גם כלים לא רעים לקוטב הנגדי – שווקים מונופוליסטיים לגמרי, שיש בהם רק יצרן אחד (או רק צרכן אחד). בין תחרות מושלמת למונופול מושלם, המדף היה די מדולדל – לא לגמרי ריק, אבל דל. עם הזמן, ועם ההתקדמות של תורת המשחקים, נבנו מודלים שעזרו לנו לחשוב על מצבים שבהם יש כמה יצרנים – לא אחד, לא המון – וכמה צרכנים – לא אחד, לא המון. המאפיין העיקרי של המודלים האלה הוא ההתנהגות האסטרטגית של השחקנים: מה שמיצובישי תעשה ישפיע על מה שטויוטה תעשה, ומה שטויוטה תעשה ישפיע חזרה על מיצובישי, וכו'. כשזה המצב, טבעי לשאול מה כל שחקן יודע – כשימצובישי עושה תכניות, מה היא יודעת על הביקוש לטויוטה? והאם מיצובישי מניחה שהיא תוכל להפתיע את טויוטה ולגנוב לה נתח שוק, או שמיצובישי חוששת שטויוטה יודעת שמיצובישי יודעת, ונערכת בהתאם? שאלות כאלה הן החומר שממנו עשויות פנטזיות של אנשי תורת המשחקים…

צעד משמעותי קדימה עם התסבוכת הזו היה מאמר מפורסם מאד של חתן פרס נובל בכלכלה, ישראל אומן (זהו המאמר המצוטט ביותר שלו. במאמר הזה הוא הגדיר פורמלית את המושג של "ידיעה משותפת" (בלעז common knowledge) אם מישהו מכיר תרגום טוב יותר – תרביצו בתגובות. בקיצור, לי ולאריאל יש "ידיעה משותפת" על משהו (נניח על כך שהיום יום שלישי) אם אני יודע שהיום יום שלישי, אריאל יודע שהיום יום שלישי, אני יודע שהוא יודע שהיום יום שלישי, הוא יודע שאני יודע שהוא יודע שהיום יום שלישי, ואני יודע שהוא יודע שאני יודע שהוא יודע שאני יודע… וכו' עד אינסוף. כשמניחים שבמצבים מסוימים קיימת ידיעה משותפת, החיים נהיים הרבה יותר פשוטים למי שמנסה, למשל, לבנות מודל פורמלי של תחרות בין מיצובישי וטויוטה.

[עדכון: מסתבר שכאשר ישראל אומן התחיל לעסוק בנושא כבר היה מדובר במושג די מפותח בעולם הפילוסופי. להרחבה: https://plato.stanford.edu/entries/common-knowledge/%5D

Enters: Ariel Rubinstein

אינסוף זה מספר די גדול… מה קורה אם אנחנו מנסים להתקרב לידיעה משותפת, אבל לא ממש מגיעים עד אליה. למשל –

ופה מתחיל האקשן.

 

דמיינו שני מפקדי גדודים, נניח גדוד 12 ו 13 של גולני, שחונים במרחק של 30 ק"מ זה מזה, וצריכים לתאם ביניהם את הזמן שבו שניהם יצאו למתקפת מלקחיים מוחצת כדי להכרית את האויב המנאץ אלוקי מערכות ישראל (סליחה.. לא התאפקתי). אם התיאום יצליח – המתקפה תצליח. אבל אם רק אחד הגדודים יופיע לקרב, הוא יוכה שוק על ירך. ועכשיו להנחה הקריטית הראשונה: הפסד כואב יותר ממה שנצחון הוא מתוק. הוא לא צריך להיות הרבה יותר כואב, רק יותר כואב. לכן, המפקדים יצאו לקרב רק אם יש סיכוי גבוה מ 50% שגם המפקד השני יצא לקרב באותו הזמן. לא צריך ודאות. לא צריך אפילו 90%. רק קצת יותר מחצי. אבל איך הם יתאמו ביניהם? איך כל אחד מהם יוכל להשתכנע שיש סיכוי מספיק טוב – מעל חצי –  שהשני גם יצא לקרב?

למרבה המזל, שני המפקדים מצוידים בלפטופ, ולשניהם יש אימייל. הנחה קריטית שניה: מיילים לפעמים לא מגיעים ליעדם. ההסתברות לתקלת אימייל יכולה להיות מזערית – 0.001% – לא משנה. הדבר היחיד שחשוב הוא שיש סיכוי כלשהו שהמייל לא יגיע.

מפקד א' שולח מייל למפקד ב' שבו הוא כותב "נתקוף בשלוש בצהריים. נא אשר קבלה". עכשיו, זה אולי נראה טריויאלי, אבל בואו נעצור רגע לחשוב למה מפקד א' ביקש אישור קבלה? כי אם מפקד ב' לא קיבל את המייל, אז מפקד ב' מן הסתם לא יופיע לקרב. אין לו מושג שהקרב הולך להיות בשלוש. השאלה האם מפקד ב' קיבל את המייל או לא היא קריטית. בלי תשובה לשאלה הזו מפקד א' לא יודע אם מפקד ב' יגיע לקרב. שימו לב שזה עוד לא עונה לשאלה הבאה: האם כאשר מפקד א' לא מקבל אישור ממפקד ב' הוא ייצא לקרב בכל זאת? לא ברור. אחרי הכל, הסיכוי לאובדן מייל הוא אלפית האחוז, אולי עדיף לצאת לקרב גם בלי אישור קבלה? אבל רגע לפני ההסתערות, בואו נדבר על מפקד ב'.

נניח שמפקד ב' קיבל את המייל. הוא שולח אישור למפקד א' "קיבלתי, נתראה בשלוש". רגע לפני שהוא לוחץ "שלח", הוא אומר לעצמו "הממ… מה יקרה אם המייל שלי לא יגיע למפקד א'? הוא עלול לחשוב שלא קיבלתי את המייל שלו. ואם הוא יחשוב שאני לא קיבלתי את המייל שלו, הוא עלול לא לצאת לקרב בשלוש מתוך פחד שאני לא אגיע! או שאולי הוא יצא לקרב בכל מקרה?" ישב וחשב, וליתר ביטחון הוסיף למייל שלו למפקד א' "אנא אשר את זה שקיבלת את האישור שלי". גם כאן, עוד לא אמרנו כלום על השאלה מה יקרה אם מפקד ב' לא יקבל את האישור שביקש ממפקד א' על כך שזה קיבל את האישור שלו. האם מפקד ב' יצא לקרב בכל מקרה? יעדיף שלא? ואם מפקד א' יאשר את האישור – האם צריך גם שמפקד ב' יאשר את האישור לאישור של האישור וכן הלאה? איזה אורך צריכה להיות השרשרת הזו, אם בכלל, כדי להביא לכך שהמפקדים ייצאו לקרב בשלוש?

כדי לחשוב על הבעיה הזו, בואו נדמיין שהרס"פ של המסייעת סידר לכל מפקד בסיפור מערכת אישור אוטומטית במייל: כשהמייל מהמפקד השני מגיע, אוטומטית נשלח מייל אישור, וכשמייל האישור מגיע ליעדו – הוא מפעיל אצל המפקד השני את אותה מערכת, ואטומטית נשלח מייל אישור לאישור, וכך הלאה עד שמתישהו המייל נתקע. המערכת בסופו של דבר מציגה על מסכי המחשב של כל מפקד את מספר האישורים שהוא קיבל. איזה מספר יספיק כדי לשכנע את מפקד א' (או ב') לצאת לקרב? אחד? שניים? מאה? מליון? אפס?

התשובה המפתיעה היא – המפקדים לא יצאו לקרב ולא משנה כמה מיילים של אישורים הם יחליפו. תחת שתי ההנחות שהודגשו למעלה, לא משנה כמה מיילים של אישור רצו, ולא משנה כמה קטן הסיכוי שמייל ייתקע, ולא משנה כמה קטן הפער בין הכאב של ההפסד ומתיקות הניצחון – המפקדים לא יצליחו לתאם מתקפה. זו תוצאה מפתיעה כמובן, והיא גורמת להרהורים נוגים על ידיעה משותפת. אילו הייתה למפקדים ידיעה משותפת הם היו יוצאים לקרב. אבל אפילו אם הם עשו מליון סיבובים של "א' יודע שב' יודע שא' יודע שב' יודע" וכו' (כלומר, רק מליון במקום אינסוף) הם לא יצאו לקרב… מליון סיבובים, אבל אנחנו אפילו לא באמת קרובים לידיעה משותפת.

רגע של הסתברות לפני שממשיכים

דוגמה שחביבה על מורים להסתברות: נניח שהסיכוי לגשם בכל יום הוא עשרה אחוז, ונניח שהוא לא תלוי כלל בשאלה האם אתמול ירד גשם. אם בראשון לחודש ירד גשם, מהו היום הבא בחודש שהוא בעל הסיכוי הגבוה ביותר להיות היום הגשום הבא?

התשובה היא: השני לחודש. למה? החישוב דווקא פשוט.

מה הסיכוי שיום הגשם הבא יהיה השני לחודש? טוב זה פשוט: 10%. זה הסיכוי לגשם בכל יום.

מה הסיכוי שיום הגשם הבא יהיה השלישי לחודש? או, זה כבר יותר מסובך, כי שני דברים צריכים לקרות כדי שהשלישי יהיה יום הגשם הבא. קודם כל צריך שבשני לא ירד גשם (סיכוי של 90%), ואחר כך שבשלישי כן ירד גשם (סיכוי של 10%). החישוב ההסתברותי הוא כפל של ההסתברויות, כלומר הסיכוי לכך שיום הגשם הבא יהיה השלישי לחודש הוא

10%*90%=9%

שזה פחות מעשרה אחוז. כל יום בהמשך הוא רק בעל סיכויים נמוכים יותר להיות היום הגשום הבא. כל יום בהמשך לוקח את העשרה אחוז סיכוי לגשם, ומכפיל אותו בעוד ועוד 90% עבור כל יום שאין בו גשם.

חזרה למיילים של גולני. 

כל שרשרת אישורים (קיבלתי את האישור שלך שאישרת את האישור שלי שאישר את האישור שלך, שאישר… וכו') במייל סופה להיעצר מתישהו. אם יש סיכוי כלשהו, קטן ככל שיהיה, שמייל יילך לאיבוד, השרשרת תיעצר מתישהו. עכשיו, בכל מקרה של עצירה, מפקד א' ישאל את עצמו בבהלה את אותה שאלה:  האם מפקד ב' לא קיבל ממני את האישור האחרון שאני שלחתי לו כי המייל שלי אבד בדרך אליו, או שמפקד ב' קיבל את האישור שלי, אבל אני לא קיבלתי אישור על כך כי המייל שלו אבד בדרך אלי?

וכיוון שמפקדים בגולני ידועים ביכולת ההסקה ההסתברותית שלהם, המפקד תמיד יגיע לאותה המסקנה – סביר יותר שהוא זה שלא קיבל את המייל ממני. למה? ממש כמו הסיפור של הגשם. נניח שהסיכוי שמייל יאבד הוא אחוז אחד. מה הסיכוי שהמייל שלי, חושב לו מפקד א', הלך לאיבוד בדרך למפקד ב'? ובכן, אחוז אחד. מה הסיכוי שהמייל שלי הגיע אליו (99%) אבל שאז המייל שלו עם האישור לא הגיע אלי (1%)? ובכן, זו מכפלת הסיכויים, ומה שלא תגידו על 99% מתוך 1% – זה פחות מאשר 1%. זו הנקודה הקריטית במאמר – מה שחשוב הוא לא ההסתברות (הנמוכה) שמייל ייתקע. מתישהו, אישזהו מייל ייתקע. לא משנה כמה קטנה ההסתברות שמייל ייתקע. מה שמשנה זה שתמיד ההתסברות שהמייל שלי נתקע בדרך למפקד השני גבוהה יותר מההסתברות שהמייל שלי הגיע, אבל המייל שלו נתקע בדרך אלי.

חזרה לשדה הקרב

תוצאה ראשונה: אם מפקד א' לא קיבל אף אישור הוא לא יצא לקרב. 

הסבר: מפקד א' יודע שאחד מהשניים בהכרח קרה: או שמפקד ב' לא קיבל את המייל הראשוני, או שמפקד ב' קיבל את המייל הראשוני, אבל המייל אישור ממנו נתקע בדרך חזרה למפקד א'. כפי שהסברנו הרגע – מפקד א' מבין שיש סיכוי גבוה יותר לכך שמפקד ב' כלל לא קיבל את המייל. לכן, מהרהר לו מפקד א',  יש סיכוי גבוה יותר שמפקד ב' לא יגיע בשלוש מאשר שהוא כן יגיע בשלוש, ואני אנגף בקרב. לכן, אני לא יוצא לקרב. שימו לב שזו לא תוצאה הסתברותית, אלא מוחלטת. אם יש אפס אישורים, מפקד א' עושה חישוב הסתברותי, אבל מגיע תמיד לאותה מסקנה – אם לא קיבלתי אף אישור – אני לא יוצא לקרב.

מפקד ב', גולני אחרי הכל, מבין את זה. הוא יודע שאם מפקד א' לא מקבל שום אישור אז מפקד א' לא יצא לקרב. מה יקרה לכן אם מפקד ב' לא יקבל את האישור שהוא ביקש ממפקד א ("נא אשר את קבלת האישור ממני")?

תוצאה שניה: אם מפקד ב' לא קיבל אף אישור הוא לא יצא לקרב

הסבר: מפקד ב' שואל את עצמו – האם מפקד א' בכלל לא קיבל את האישור שלי? או שמפקד א' קיבל את האישור שלי, אבל האישור שלו לאישור שלי לא הגיע אלי? אחד משני אלה בהכרח קרה, אבל מי מהשניים? מבין שתי האפשרויות האלו, כזכור, מפקד ב' יגיע למסקנה שסביר יותר שמפקד א' כלל לא קיבל את האישור ממנו. ובגלל שהוא קרא את הפוסט הזה, ובפרט את הפסקה הקודמת, הוא יודע שכאשר מפקד א' לא מקבל שום אישור, מפקד א' לא יוצא לקרב. והמסקנה – כשמפקד ב' לא מקבל אישור לאישור שלו, הוא לא יוצא לקרב.

מפקד א', גולני אחרי הכל, מבין את זה. הוא יודע שאם מפקד ב' לא קיבל שום אישור, אז מפקד ב' לא יצא לקרב.

תוצאה שלישית: אם מפקד א' קיבל רק אישור אחד הוא לא יצא לקרב

הסבר: כשמפקד א' מקבל רק אישור אחד, הוא שואל את עצמו – כמה אישורים ממני מפקד ב' קיבל? אני יודע שהוא – מפקד ב' – קיבל את המייל המקורי, כי הוא שלח לי אישור. אבל זה לא מספיק. אני גם יודע שאם מפקד ב' לא קיבל שום אישור ממני על כך שקיבלתי את האישור שלו, הוא לא יצא לקרב (ראו תוצאה שניה).

והסיפור קצת חוזר על עצמו. חושב לו מפקד א':  אם אני – מפקד א' – קיבלתי רק אישור אחד, אז יש שתי אפשרויות. אולי זה בגלל שמפקד ב' לא קיבל את האישור ממני (לאישור שלו). או שאולי המייל ממני דווקא כן הגיע למפקד ב', אבל מייל האישור הבא בתור ממנו – ממפקד ב' אלי –  נתקע בדרך אלי. ושוב, כמו בדוגמה על ימי הגשם – מפקד א' מסיק שהתרחיש הראשון סביר יותר. לכן, כשמפקד א' מקבל רק אישור אחד הוא לא יוצא לקרב. הוא יודע בודאות שמפקד ב' קיבל את המייל המקורי, אבל הוא לא יודע בודאות אם מפקד ב' קיבל אישור או לא קיבל אישור, לכך שמפקד א' קיבל את האישור שלו. בין שתי האפשרויות האלו חוקי ההסתברות קובעים שיותר סביר שמפקד ב' לא קיבל אישור, ולכן לא יצא לקרב. והתוצאה – כשמפקד א' מקבל רק אישור אחד, הוא לא יוצא לקרב.

מפקד ב', גולני אחרי הכל, מבין את זה… מפקד ב' יודע שאם מפקד א' קיבל רק אישור אחד הוא לא יוצא לקרב.

אתם כבר יכולים לראות לאן זה הולך.

תוצאה כללית: עבור כל מספר סופי של אישורים, המפקדים לא יצאו לקרב

מה קורה פה? בשלב ראשון, כל מפקד מבין שדרוש לו לפחות אישור אחד כדי לצאת לקרב. זה לא לגמרי אינטואיטיבי – אם יש סיכוי של 99.9999% שהמייל יגיע ליעדו, למה לא לצאת לקרב בכל מקרה? אכן, אם מפקד א' לא היה מבקש אישור, הוא היה מניח שסביר הרבה יותר שמפקד ב' קיבל את המייל, ויאללה בלאגן. אבל דווקא בגלל שהוא ביקש אישור הוא חייב להסיק שמשהו השתבש אם האישור הזה לא הגיע. ובין שני הדברים שיכלו לקרות, הוא מסיק שמפקד ב' לא קיבל כלל את המייל, ולכן מחליט לא לצאת לקרב. ומכאן השרשרת מתחילה להיפרם. מפקד ב' עכשיו יודע שבלי אישורים מפקד א' לא יוצא לקרב, ולכן גם הוא חייב לקבל אישור כדי לצאת לקרב (ראו תוצאה 2). מפקד א' יודע את זה, ולכן הוא מבין שהוא חייב לקבל שני אישורים כדי לצאת לקרב. מפקד ב' יודע את זה, ולכן גם מפקד ב' עכשיו צריך שני אישורים. וכמובן, שאם מפקד ב' לא ייצא לקרב עם פחות משני אישורים, מפקד א' יתעקש לקבל שלושה אישורים כדי לצאת לקרב. ואם א' מתעקש על שלושה, גם ב' מתעקש על שלושה. אם ב' מתעקש על שלושה, א' יתעקש על ארבעה, וכו', וכו'. שום מספר סופי של אישורים לא יספיק. דווקא ההחלטה הסבירה לבקש אישור, כדי להתקרב ככל האפשר ל"ידיעה משותפת" חירבנה פה את היכולת לצאת להתקפה מתואמת.

דעת יפה

למה זה מאמר על גבול הקלאסי (אולי אפילו קלאסי), שהתפרסם בז'ורנל היוקרתי ביותר בכלכלה, ושהוסיף עוד נדבך למעמד של אריאל רובינשטיין בתור – במילותיו של הכלכלן בריאן קפלן –  legendary game theorist? המתמטיקה די פשוטה – למעט קיצור דרך אחד (לא חשוב במיוחד), כל המהלך הלוגי של המאמר נמצא פה בפוסט, ומי שלא מפחד מאותיות יווניות מוזמן לנסות לקרוא ולהיווכח בעצמו. בנוסף, אנחנו לא באמת מאמינים לתוצאה הסופית – ברור שאנשים כן מסוגלים לתאם דברים כאלה.

אני חושב שהתשובה שאריאל רובינשטיין עצמו היה נותן היא – אסתטיקה. המאמר הזה הוא פשוט יפהפה. הוא לוקח בעיה מעניינת, מגיע למסקנה מאד לא אינטואיטיבית, אבל גם, אפעס, נכונה. והוא גורם לך לחשוב. קצת קשה להפסיק לחשוב על המהלך הלוגי הזה ברגע שמבינים אותו, שלא לדבר על – סליחה על הפומפוזיות – התרוממות נפש קלה כשהרעיון פתאום מתבהר לך, כשהקליק מגיע.

רובינשטיין – רוב קוראי הבלוג בוודאי שמעו על כך – הוא מתנגד נחרץ ליישום של "תיאוריה" כלכלית לשאלות של מדיניות. בסמינר שבו ראיתי את רובינשטיין מציג מאמר עדכני שלו, בחלק שבו מקובל להסביר למה המחקר שאתה עומד להציג יביא לתיקון כל מה שמקולקל בעולם, רובינשטיין התעקש שהמאמר שלו חסר השלכות לעולם האמיתי. ערכו של המאמר הוא כשלעצמו, כמו ציור במוזיאון. לפחות במקרה של המאמר הזה, אני מסכים, ורובינשטיין הוא מגדולי הציירים של התחום.