Is Behavioral Economics Doomed? The Ordinary versus the Extraordinary
By David K. Levine
OpenBook Publishers
זמין בחינם ברשת
(אזהרה: הפוסט מכיל 3,000 מילים. שימו מים לקפה, או שתקראו בשתי נגלות)
לדיוויד לוין, חוקר משפיע בתחום תורת המשחקים, נמאס. שמו של כתב ההגנה שלו על התיאוריה הכלכלית, "Is Behavioral Economics Doomed?", לא משאיר מקום לספק – הספר הזה, שמבוסס על הרצאת מקס וובר, אותה הרצה ב European University Institute , הוא חיבור פולמי. מאד. כותרת המשנה של הספר היא, בתרגום חופשי "הרגיל מול הבלתי רגיל", אבל היא יכולה הייתה להיות באותה המידה "למה נמאס לי שכל בר בי רב שיודע להגיד כהנמן משתין בקשת על תיאוריה שלמרות חסרונותיה, היא עדיין ההופעה הכי טובה בעיר". למעשה, זו גם נקודת החולשה החשובה ביותר של הספר: רוב הספר מוקדש למאבק באותו בר בי רב, ונעשה מאמץ מועט מדי להתמודד עם הטענות המורכבות יותר, והחשובות יותר, של הכלכלה ההתנהגותית, ויש רבות כאלה. אבל על כך בהמשך.
התזמון של ההרצאה ושל יציאת הספר איננו מקרי כמובן. מאז תחילת המשבר הכלכלי העולמי, המחקר הכלכלי הפך להיות מטרה לחיצים לא מעטים של ביקורת ואפילו לעג. אך בעוד שבחלק מהביקורת יש בוודאי מידה של אמת, חלק גדול עוד יותר ממנה הוא, אם להתנסח בזהירות, מבולבל. ישנן תשובות חשובות לחלקים המבולבלים ביותר מהביקורת שהוטחה בכלכלנים, אבל לוין לא בוחר במטרות הקלות האלו (למרות שחשוב לענות גם להן), אלא יוצא להגן דווקא על נקודה שכלל לא קל להגן עליה ושרבים בחרו לתקוף: הכוח הניבויי של תיאוריות הנשענות על שיווי משקל בין שחקנים רציונליים. במילים פשוטות יותר, שלוין עצמו בוודאי לא היה עושה בהן שימוש – הוא יוצא להגן על "הנחת הרציונאליות", ללא ספק הכלי המושמץ ביותר בארגז הכלים הכלכלני.
לב הטיעון של לוין בספר נשען על שני עמודים: ראשית – לוין מגדיר את קו ההגנה: תיאוריה טובה לא צריכה להיות מושלמת. היא צריכה להיות כזו שהחריגות ממנה אינן חשובות מבחינה כמותית לצורך הבנת התופעה שהתיאוריה מנסה להסביר. ההסבר שלו הוא כל כך חינני, שאני לא מתאפק מלצטט פסקה ארוכה ממנו:
The importance of the quantitative nature of economics often eludes clever observers… Take for example the following (possibly apocryphal) quotation, from the "original" behavioral economist Kenneth Boulding: "Anyone who believes exponential growth can go on forever in a finite world is a madman or an economist". This appears to involve a straw man, since as far as I know no economist would argue that exponential growth can go on forever – at best this is something we are uncertain about. The point is not debatable. But what conclusions can we draw from the fact that exponential growth cannot go on forever? Boulding evidently would like us to conclude that if it cannot go on forever, it cannot go on for very long. Of course that does not follow. Exponential growth may be possible for the next ten years, or it might be possible for the next ten thousand years[…] The point is that philosophers' and lawyers' reasoning – trying to draw a practical conclusion from an extreme hypothetical statement – "exponential growth cannot go on forever" – is false reasoning. All the action is in the quantitative dimension: some numbers are big, some numbers are small and how big and how small matters, not whether numbers are exactly equal to zero, or "infinite"
שנית – לוין מיישם את קו ההגנה הזה עבור התיאוריה הכלכלית: שפע של ראיות תומכות בכך שהתיאוריה הכלכלית בכלל, וליבה של התיאוריה, מושג שיווי המשקל של נאש, עומדים במבחן הזה בהצלחה.
לוין מתחיל את הדיון שלו בפרשנות מעניינת למושג שיווי המשקל. אבל לפני הפרשנות של לוין, תזכורת להגדרה הטכנית של המושג: נניח מצב שבו קבוצת פרטים נמצאת באינטראקציה כלשהי, כך שלפעולות של כל אחד מהפרטים בקבוצה עשויה להיות השפעה על התוצאה המתקבלת אצל כל פרט אחר. אם כל אחד מהפרטים סבור שבהינתן האופן שבו פועלים כל הפרטים האחרים, הפעולה שבה הוא עצמו בחר היא האופטימלית עבורו, זהו מצב של שיווי משקל. למשל, אם אני מוכר מכוניות משומשות ומטרתי היא למקסם את רווחי, ואני סבור שבהינתן המחירים שגובים כל המוכרים האחרים, ובהינתן הנכונות של קונים לשלם, המחיר שאני גובה הוא המחיר שיניב לי את הרווחים הגבוהים ביותר, ויתר על כן – כל שאר המוכרים והקונים סבורים כך גם הם, המצב המתקבל הוא שיווי משקל. על פניו, תיאוריה שסבורה שתוצאה של שיווי משקל תתקבל במציאות היא מופרכת: איך אפשר לקוות אפילו שבאינטראקציה מורכבת יחסית, שבה הפעולות של כל אחד משפיעות על התוצאות עבור כל אחד אחר, כולם יפעלו באופן כזה שאף אחד לא יהיה מעוניין לשנות בדיעבד את האופן שבו פעל? מי מסוגל בכלל לחשב כיצד ישתנה מצבו אילו יפעל מעט אחרת? ישנם מצבים מציאותיים לגמרי שעבורם אפילו מחשבים חזקים למדי יתקשו למצוא את שיווי המשקל הזה – איך אפשר לדמיין בכלל מצב שבו אנשים בשר ודם יפעלו באופן שמתאים לתיאוריה הזו?
הפרשנות של לוין למושג שיווי המשקל נותנת מענה מסוים לתמיהה הזו. לפי לוין, שיווי משקל הוא מצב שבו לא ניתן יותר ללמוד. כלומר, אילו התוצאה המתקבלת היא כזו שיש פרט אחד או יותר בקבוצה שבהינתן פעולותיהם של האחרים יכול לפעול אחרת ולשפר את מצבו – הוא ילמד מטעותו, ויפעל טוב יותר בפעם הבאה שייתקל בסיטואציה הזו. אם השינוי הזה יגרום לאחרים לרצות גם הם לשנות את הפעולה שבה נקטו – הם ילמדו מטעותם, ויעשו זאת. התהליך הזה, שבו פרטים לומדים מהטעויות שלהם, משנים את החלטותיהם, ומגיבים לשינויים של פרטים אחרים, הוא תהליך של למידה. בשיווי משקל התהליך ייעצר. אף פרט לא ירצה לשנות את הפעולה שבה נקט. לא ניתן יותר ללמוד. לוין מביא ראיות רבות בספר לכך שבני אדם, גם אם יכולת החישוב שלהם מוגבלת, הם בעלי יכולת לימוד מרשימה, אבל דוגמא אחת מבהירה את גישתו היטב: שעת העומס בכבישים בכל עיר בעולם, לפי לוין, היא מצב של שיווי משקל. בהינתן רמת העומס בכל כביש (כלומר, בהינתן הפעולות של עשרות או מאות אלפי פרטים אחרים, כולל פרטים שבחרו תחבורה ציבורית או שבחרו להישאר בבית), כל פרט מוצא את הדרך המהירה ביותר ליעד שלו. זוהי אינטראקציה כל כך מסובכת, שאין בנמצא כיום מחשב המסוגל לחשב את שיווי המשקל הזה. ובכל זאת, הנהגים עצמם פעלו כך שהתקבלה תוצאה של שיווי משקל. למרות שלוין לא מציג ראיות מדעיות לכך, קל לקבל את טענתו שרוב הנהגים אכן נוסעים במסלול שלפחות בממוצע, לפחות בקירוב, הוא המסלול המהיר ביותר ליעדם בשעות עומס. או במילים אחרות, בהינתן הפעולות של כל הנהגים האחרים, כל נהג בוחר בפעולה אופטימלית – וזו בדיוק ההגדרה של שיווי משקל. בוודאי – אילו היינו משליכים את כל הנהגים בעיר אל עיר חדשה אין שום סיכוי שביום הראשון לנהיגתם הייתה מתקבלת תוצאה של שיווי משקל. אפילו שיפוצים בכביש בודד יכולים לגרום לבלאגן לא קטן. אבל, המציאות מלמדת שעם הזמן יש תהליך של למידה, ונוצרת התכנסות לשיווי משקל – עד שאין עוד מה ללמוד.
אחד הדברים המעניינים בדוגמא שבחר לוין היא שהיא מבהירה את הפער בינו ובין אחד המפורסמים שבמבקרי התיאוריה הכלכלית וישימותה למצבים מציאותיים – אריאל רובינשטיין. רובינשטיין עם שותפתו לכמה מחקרים, איילה ארד, ערכו ניסוי בשיתוף עם היומון "כלכליסט", שבו התבקשו הקוראים להשיב כיצד ינהגו במספר סיטואציות אסטרטגיות. מטרת הניסוי הייתה להבהיר כי אנשים אינם פועלים על פי התחזיות שמספק שיווי משקל נאש. ה-דוגמא שבחרו רובינשטיין וארד כדי להבהיר לקוראיהם מהי אינטראקציה אסטרטגית הייתה של נהג המנסה לבחור את נתיב הנסיעה המהיר ביותר ליעדו: "בהמשך נראה שתורת המשחקים רחוקה מלתת עצות מועילות לגבי איך לשחק בשלושת המשחקים, שלא לדבר על מה לעשות במחלף בן שמן" מזהירים ארד ורובינשטיין בתחילת מאמרם. מול השימוש הקריקטורי שנעשה לעיתים בתורת המשחקים – הראיון המשונה של אומן למעריב הוא דוגמא עדכנית ומצערת – התזכורת של רובינשטיין וארד היא חשובה. אבל חשוב גם לזכור שלא כל תורת המשחקים היא מה שאומן אומר בראיונות למעריב.
לוין מציג בספרו עוד ראיות אמפיריות רבות, כולל ניסויי מעבדה – כולם כוללים חזרה של מספר פעמים על הסיטואציה האסטרטגית, וכולם מתעדים למידה מהירה מאד של המשתתפים, והתכנסות למצב של שיווי משקל גם בסיטואציות מורכבות להפליא, ובעיקר – גם כאשר ברור לחלוטין שאף אחד מהמשתתפים לא יכול היה לחשב בעצמו את שיווי המשקל הזה. אוסף הראיות המרשים שמביא לוין בספר הוא מרתק ומשכנע מאד. בסוף הפוסט הזה, תוכלו למצוא תיאור של דוגמא אחת, חביבה במיוחד.
אז הכל סבבה?
לוין הוא מדען טוב מדי מכדי להסתפק בהצגה שמצטמצמת רק לראיות שתומכות בטענתו. והרי למרות ההצלחות האמפיריות המרשימות של תיאוריות המתבססות על מושג שיווי המשקל של נאש, אין להכחיש שיש גם ראיות מדעיות חד משמעיות על מצבים שבהם התחזית של התכנסות לשיווי משקל עומדת בסתירה לנתונים. לוין כלל לא מסתיר אותן. להיפך – הוא עוסק בהרחבה בדרך שבה השפיעו התוצאות האלו על התיאוריה. האופן בו לוין מתאר את ההתמודדות של המחקר התיאורטי עם התוצאות האמפיריות שהצביעו על הבעיות במושג שיווי המשקל הוא מאיר עיניים משתי סיבות.
ראשית, בכך שלוין מתאר את הגלגולים שעבר מושג שיווי המשקל כדי להתאים אותו לתוצאות אמפיריות שלא מתיישבות עם המושג המקורי, הוא מדגים לקורא את מערכת היחסים במחקר הכלכלי בין תיאוריה ואמפיריקה: הפרייה הדדית, ולא התעלמות ועצימת עיניים כלפי תוצאות חדשות. בכל הנוגע למושג שיווי המשקל, תוצאות אמפיריות חדשות הפרו כל העת את המחקר התיאורטי, וחוקרים רבים לאורך השנים עידנו, שיכללו, והוסיפו ניואנסים רבים למושג המקורי של שיווי משקל נאש. כיום, לצד שיווי המשקל של נאש, ישנם גם שיווי משקל עם מושלמות לתתי משחקים, שיווי משקל מרקוב, שיווי משקל של "יד רועדת", ועוד רבים וטובים. אך מעבר לפרטים, עצם ההדגמה של התהליך הזה, של ההפריה ההדדית בין התיאוריה לאמפיריקה בכלכלה, הוא תרומה משמעותית לדיון הפופולארי. בהקשר הזה שוב מעניין להנגיד בין הגישה של לוין לגישה שרבים מוצאים בדבריו של אריאל רובינשטיין (אני, אגב, לא חושב שזה מה שהוא מנסה לומר), למשל בספרו "אגדות הכלכלה". כך כתבה על הספר עדי מרקוזה-הס במדור ביקורת הספרים של עיתון "הארץ" – פסק הדין הרשמי של האינטלגנציה הישראלית:
לביקורת של רובינשטיין יש מבנה אחיד פחות או יותר. הוא מציג מודל כלשהו מהמודלים המרכזיים של התיאוריה הכלכלית, ומראה איך הוא קורס כאשר מעמידים אותו במבחן אמפירי, ולפעמים אף במבחן המציאות ממש.
אני מקוה שזה לא הרושם שקיווה רובינשטיין להשאיר אצל קוראיו: הקביעה של מרקוזה-הס היא לא פחות ממדהימה, וקשה שלא להתאכזב מהמחשבה שזה הרושם שמקבלים הקוראים בספר. ניחא אילו הקורא היה מקבל את הרושם שאחרי שנים של מחקר ודיון אקדמי, שכולל אינספור מאמרים, מחקרים, קריירות מדעיות, ואף פרסי נובל, ספר פופולארי אחד של רובינשטיין הוא זה שמיישב סופית את הדיון בנושא, כשהוא מראה איך הכל קורס בתיאוריה הכלכלית. אבל מהביקורת של מרקוזה-הס (ושל אחרים) עולה שהקורא מקבל רושם הרבה יותר מטריד. לא זאת בלבד שספר פופולארי אחד הוא נצחון מוחץ בדיון על ערכה של התיאוריה הכלכלית, אלא שאין בכלל דיון מחקרי בנושא! כמה רשלני מצד הכלכלנים שעד שרובינשטיין כתב את ספרו לא חשב מי מהם להעמיד את המודלים במבחן אמפירי. לו רק היו עושים זאת, היו מבינים מיד, כפי שמסבירה מרקוזה-הס, שמודל אחר מודל קורס "במבחן המציאות ממש". אחח, אני אומר לכם – אילו כסילים הם הכלכלנים שלא שמו לב לכך… התרומה של לוין לדיון הזה חשובה יותר מכל פרט אמפירי שהוא מביא או הגדרה לסוגים נוספים של שיווי משקל שהוא מסביר: כל מי שמעונין להאשים כלכלנים בעצימת עיניים כלפי ראיות אמפיריות – טוב יעשה אם יקרא בעיון את החלקים האלו בספר. אפשר שלא להסכים – גם אני לא רוויתי נחת מכל שורה ושורה בספר, אבל אי אפשר להתעלם מכך שהדיון הזה מתקיים במלא העוז.
הדגמת המתודה המחקרית בכלכלה היא אמנם חשובה, אבל גם התוכן שלוין יוצק לתוכה הוא מרתק. הדוגמאות בספר למחקרים רלוונטיים הן מאירות עיניים. למשל, כשל אמפירי ידוע של מושג שיווי המשקל קיים בסיטואציה שנקראת משחק האולטימטום. במשחק האולטימטום יש שני משתתפים שצריכים להחליט כיצד לחלק ביניהם סכום כסף – נניח 100 שקלים. המשתתף הראשון מציע חלוקה, למשל – שכל משתתף יקבל את מחצית הסכום. המשתתף השני יכול להסכים לחלוקה המוצעת, ואז היא מתבצעת, או לדחות אותה, ואז שני המשתתפים מקבלים אפס שקלים. שיווי משקל אפשרי של המשחק (והיחיד שהוא מושלם לתתי משחקים. לא חשוב כרגע.) הוא כזה: המשתתף הראשון יציע חלוקה שבה הוא מקבל כמעט את כל הסכום, נניח 99 שקלים, והמשתתף השני, שנאלץ לבחור בין לדחות את ההצעה, ולקבל אפס שקלים, ובין לקבל את ההצעה, ולקבל שקל אחד, יעדיף לקבל שקל אחד, ויקבל את ההצעה. שפע ניסויים בואריאציות שונות מראות שכאשר בני אדם בשר ודם משתתפים בסיטואציה הזו, התוצאה המתקבלת איננה דומה כלל לתחזית של שיווי המשקל. אנשים אינם מציעים חלוקה של 99-1, ומן הצד השני רבים דוחים גם הצעות נדיבות יותר מאשר שקל אחד. האם זהו כשל של התיאוריה של שיווי משקל נאש? נראה שכן. האם צריך לכן לשבור את הכלים ולזרוק את כל התיאוריה לפח? כפי שלוין מבהיר, זו תהיה התנהגות שמנוגדת לאתוס המחקרי לא פחות מאשר התעלמות מתוצאות שאינן מתאימות לתיאוריה. אין חולק על כך שאסור להתעלם מראיות שמנוגדות לתיאוריה, ושלעיתים אכן צריך לשבור את הכלים ולזרוק את התיאוריה לפח. אבל – לא צריך למהר כל כך לעשות את זה, בייחוד כאשר יש לתיאוריה גם הצלחות אמפיריות משמעותיות. איך מיישב לוין את הסתירה בין תוצאות הניסוי והניבוי של התיאוריה?
ראשית, מסביר לוין, התיאוריה הכלכלית אינה קובעת שהפרטים הם אגואיסטים שאכפת להם רק מתועלתם האישית, למרות שבמצבים מסוימים זהו קירוב לא רע, למשל בתיאור של שווקים תחרותיים. במשחק האולטימטום ברור שאנשים מפעילים שיקולים נוספים. שמו הטכני של השיקול שנראה שמשחק תפקיד משמעותי במשחק האולטימטום הוא, בתרגום חופשי, "דווקאיזם" (Spite). כלומר, נכונות לספוג נזק לעצמי, כדי למנוע רווח ממישהו אחר. כשלוקחים בחשבון את ההעדפה של אנשים ל"דווקאיזם" במצבים מסוימים, קל להבין מדוע אנשים אינם מציעים חלוקה של 99-1, מתוך חשש מוצדק שההצעה הזו תידחה. אבל לוין לא מסתפק באבחנה הזו. במאמר משותף שלו ושל דרו פיודנברג מהארווארד, הוא פיתח את מושג ה"שיווי משקל שמאשר את עצמו" (Self-Confirming Equilibrium). בשיווי משקל כזה, נדרשת רציונליות מהסוג הבא: שחקנים צריכים שיהיו להם אמונות נכונות בנוגע למצבים שהשחקנים אכן חווים, אבל יכולות להיות להם אמונות לא נכונות בנוגע למצבים שהם לא חוו עדיין. היישום של התיאוריה הזו למשחק האולטימטום הוא טבעי: שחקנים שחוזרים על המשחק מספר פעמים יודעים אילו הצעות היו נמוכות מדי, ולכן נדחו, והם יזהרו מלהציע אותן שוב. אבל, אם הם הציעו, למשל, 50 שקלים לשחקן השני, והוא קיבל את ההצעה, הם אינם יודעים האם הצעה של 40 שקלים בלבד הייתה מתקבלת. אילו הציעו 10 שקלים ונדחו – הם אינם יודעים האם הצעה של 20 שקלים הייתה נדחית גם היא. את הפרטים הטכניים אפשר לקרוא בספר, אבל יישום מדוקדק של התיאוריה של "שיווי משקל שמאשר את עצמו" בתוספת "דווקאיזם" לתוצאות של משחק האולטימטום מעלה ששחקנים משחקים בצורה רציונאלית להפליא. למעשה, מתוך 100 שקלים, רק 3.34 שקלים "מתבזבזים" בגלל התנהגות לא רציונאלית של השחקן המציע. האם ה"בזבוז" הזה הוא משמעותי? לפי איזו מטריקה? האם התיאוריה של שיווי משקל שמאשר את עצמו היא סבירה? כל קורא מוזמן להחליט עבור עצמו. יודגש שוב – לא חייבים לקבל את ההסבר של לוין ופיודנברג, אבל אי אפשר להכחיש שהוא תרומה בעלת ערך לדיון. ומה שחשוב מכך בהרבה – יש דיון!
ולסיכום, בכל זאת – מילה של ביקורת.
נניח לרגע שלוין שכנע אתכם, ואתם מקבלים את זה שהתיאוריה הכלכלית המבוססת על פרטים רציונליים שיגיעו לשיווי משקל נאש היא בדרך כלל, יודעים מה – כמעט תמיד, כלי בעל ערך רב. עדיין, אנחנו נשארים עם השאלה כיצד נוהגים בני אדם כאשר הם אינם נוהגים באופן רציונלי? מתי הם נוטים לעשות זאת יותר ומתי פחות? לוין מטשטש את ההבחנה בין "ניתוח על בסיס הנחת הרצינליות הוא בעל ערך רב" ובין הטענה "רק ניתוח על בסיס הנחת הרצינליות הוא בעל ערך רב". במיטבה – ובהחלט יש לה מיטב – כלכלה התנהגותית לא רק מספרת לנו את המובן מאליו, כלומר, שאנשים אינם תמיד רציונליים לחלוטין, אלא היא גם עוזרת לנו להבין טוב יותר כיצד אנשים נוהגים כאשר הם אינם רציונליים. לאורך הספר נדמה לעיתים שלוין מבלבל בין "המחקר בכלכלה התנהגותית שהכי סביר שתשמעו עליו במסיבת קוקטייל או בטור נלהב בעיתון" ובין "המחקר החשוב והמשפיע בכלכלה התנהגותית". גם מי שחושב, כמוני, שהכלים הכלכליים האפקטיביים ביותר שעומדים לרשות הממשלה הם מיסים וסובסידיות, מתוך הנחה שבני אדם ינהגו בצורה רציונלית למדי מול התמריצים האלו, צריך להכיר, למשל, בחשיבותן של התובנות המתוארות בספרם הנפלא של דיק תהלר וקאס סונסטיין – Nudge. הרצון המוצדק לעצור את הסחף האופנתי לפיו אין כמעט שום דבר חשוב ללמוד ממודלים המבוססים על הנחת הרציונליות לא צריך להפוך לביטול גורף מדי של מחקר מעולה בכלכלה התנהגותית. אני לא מודאג. הדיון נמשך ויימשך.
הדוגמא המובטחת – למיטיבי לכת בלבד
שאלה קלאסית שקשורה לשיווי משקל נאש נוגעת להתנהגותם של בוחרים. כיוון שהסיכוי של בוחר בודד להכריע בחירות הוא נמוך מאד, מדוע כל כך הרבה אנשים מצביעים? תיאוריות יש למכביר – ההקדמה למאמר הקלאסי הזה יכולה לתת לכם מושג כללי מה אנשים חושבים על הנושא. לוין ושותפו למחקר, תומס פלפרי, ניסו ללמוד באמצעות ניסוי מעבדה האם ועד כמה שיווי משקל נאש רלוונטי בנוגע לבחירות. בכל חזרה של הניסוי נערכו בחירות, כאשר המשתתפים חולקו לקבוצת רוב, שמנתה שני שליש מהמשתתפים, וקבוצת מיעוט שהיו השליש הנותר (מספר המשתתפים הכולל נע בין שלושה ובין חמישים אחת). כל חבר בקבוצה שזכתה בבחירות זוכה בשקל, ובמקרה של תיקו כל משתתף בכל אחת מהקבוצות זוכה בחצי שקל. לכל משתתף נקבעה עלות להצבעה, שנעה בין אפס ובין חצי שקל, וכל משתתף ידע רק את העלות שלו עצמו, ושבקרב האחרים, הסיכוי לכל עלות בין אפס לחצי שקל היא זהה (התפלגות אחידה). מהי התחזית של שיווי משקל נאש לניסוי כזה?
שימו לב שהכי הרבה השפעה שיכולה להיות למשתתף בבחירות היא הפיכה של תיקו לנצחון (ובכך להרוויח שקל במקום חצי שקל), או הפיכה של הפסד לתיקו (ובכך להרוויח חצי שקל במקום אפס). כך או כך, אפילו במקרה הכי טוב, הרווח הצפוי מהצבעה הוא חצי שקל. לכן, מי שהעלות שלו להצבעה היא אפס, יצביע תמיד, ומי שהעלות שלו להצבעה היא חצי שקל, לא יצביע אף פעם. עבור מי שהעלות שלו בין לבין, החישוב מסובך. התוצאה של החישוב הזה היא "עלות סף", שתלויה בסיכוי של כל מצביע לגרום לשינוי בתוצאות הבחירות. אם, ורק אם, העלות להצבעה נמוכה מהסף הזה, המשתתף יצביע. על בסיס זה, לכל בחירות יש שיווי משקל נאש, אבל החישוב שלו הוא מסובך: שיעור ההשתתפות בבחירות מושפע מ"עלות הסף" – ככל שהיא נמוכה יותר, פחות אנשים יצביעו (כי יש פחות אנשים עם עלות נמוכה מעלות הסף, ורק הם מצביעים). מאידך, ככל שפחות אנשים מצביעים, הסיכוי להשפיע עולה, ולכן "עלות הסף" עולה גם היא (קחו רגע לחשוב על זה), ואז יותר אנשים ירצו להצביע. המתמטקאים שבכם מחייכים עכשיו לעצמם ואומרים – "נקודת שבת". הם צודקים. לא משנה כל כך כרגע. מה שכן משנה הוא שיש שיווי משקל (סימטרי) יחיד לכל מערכת בחירות כזו, ועם מחשב וסבלנות, אפשר למצוא מהו. לוין ופלפרי ערכו מספר גדול של מערכות בחירות כאלו, ואפשרו למשתתפים ללמוד – כל משתתף בניסוי לקח חלק בחמישים מערכות בחירות. עבור כל סוג מערכת בחירות ("סוג" הוא מספר המשתתפים) הם חישבו מה הסיכוי לתיקו או לנצחון של מפלגת המיעוט אם התוצאה היא שיווי משקל נאש, והשוו את התחזית התיאורטית הזו לתוצאות בפועל. הגרף הבא מתאר את התוצאות. על הציר האופקי – התחזית של שיווי משקל נאש (למשל: סיכוי של 40% לתיקו, או סיכוי של 15% לניצחון המיעוט). על הציר האנכי – האחוז מתוך סך הבחירות שהסתיימו בתיקו או נצחון המיעוט. כל נקודה מתארת סוג של מערכת בחירות. אם התיאוריה מוצלחת, הנקודות צריכות להיות לאורך קרן בשיפוע של 45 מעלות מהראשית, כלומר – אם למשל התחזית התיאורטית עבור סוג מסוים של בחירות היא ש 40% מהבחירות יסתיימו בתיקו, אז אכן 40% מהבחירות בפועל יסתיימו בתיקו. מה אתם יודעים… בול.
כמו שאתם רואים, הדוגמאות לא טריויאליות – ובטח שלא קצרות – להסבר, וגם ככה יוצא לי פוסט ארוך, ולכן מי שמעוניין לקרוא עוד – מוזמן לקרוא אותן בספר. הן מרתקות.
מבוא לכלכלה - ג 